географическое расстояние

  1. обозначение [ ред. | ред. код ]
  2. Расчет для плоской поверхности [ ред. | ред. код ]
  3. Сферическая проекция Земли на плоскость [ ред. | ред. код ]
  4. Эллипсоидная проекция Земли на плоскость [ ред. | ред. код ]
  5. Полярные координаты на плоскости [ ред. | ред. код ]
  6. Расчет для сферической поверхности [ ред. | ред. код ]
  7. Туннельная расстояние [ ред. | ред. код ]
  8. Расчет для эллипсоидной поверхности [ ред. | ред. код ]

Географическое расстояние - это расстояние , Измеренное вдоль поверхности земли . Расстояние измеряется между двумя точками, которые заданы географическими координатами - широтой и долготой . Измерение географического расстояния является частью второй (обратной) задачи геодезии .

Определение расстояния между точками с заданными географическими координатами имеет некоторый уровень абстракции; он не дает в результате точное расстояние, которое является недостижимой при попытке посчитать каждую неровность земной поверхности. [1] Поверхность между двумя географическими точками может упрощаться до таких абстракций:

  • Плоская поверхность;
  • Сферическая поверхность;
  • Эллиптическая поверхность.

Все приведенные выше абстракции игнорируют изменения высоты.

обозначение [ ред. | ред. код ]

Рассчитывается расстояние, D, {\ displaystyle D, \, \!} Рассчитывается расстояние, D, {\ displaystyle D, \, \ между двумя точками, P 1 {\ displaystyle P_ {1} \, \!} и P 2 {\ displaystyle P_ {2} \, \!} . Географические координаты двух точек, в виде пар (широта, долгота), заданные как (φ 1, λ 1) {\ displaystyle (\ phi _ {1}, \ lambda _ {1}) \, \!} и (φ 2, λ 2), {\ displaystyle (\ phi _ {2}, \ lambda _ {2}) \, \!} соответственно. Какая из двух точек задана как P 1 {\ displaystyle P_ {1} \, \!} не важно для подсчета расстояния.

Координаты широты и долготы обычно заданы в градусах . В следующих формулах, одно или более значений должны быть представлены в соответствующих единицах измерения для получения правильного результата. В местах, где географические координаты используются как аргумент тригонометрической функции, значение имеют представляться в тех единицах, которые требует метод подсчета значение тригонометрической функции. В большинстве электронных калькуляторах или компьютерах расчет тригонометрических функций происходит либо в градусах, или в радианах .

Разница в широте и долготе сказывается и рассчитывается следующим образом:

Δ φ = φ 2 - φ 1; Δ λ = λ 2 - λ 1. {\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta \ phi & = \ phi _ {2} - \ phi _ {1}; \\\ Delta \ lambda & = \ lambda _ {2} - \ lambda _ {1} . \ end {aligned}} \, \!} Δ φ = φ 2 - φ 1; Δ λ = λ 2 - λ 1

При использовании нижеследующей функции не важно будет ли результат положительным или отрицательным.

"Средняя широта" обозначается и рассчитывается следующим образом:

φ m = φ 1 + φ 2 февраля. {\ Displaystyle \ phi _ {m} = {\ frac {\ phi _ {1} + \ phi _ {2}} {2}}. \, \!} φ m = φ 1 + φ 2 февраля

Дополнение широты сказывается и рассчитывается так:

Для широты заданной в радианах: θ = π 2 - φ; {\ Displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} - \ phi; \, \!} Для широты заданной в радианах: θ = π 2 - φ; {\ Displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} - \ phi; \, \ Для широты заданной в градусах: θ = 90 ∘ - φ. {\ Displaystyle \ theta = 90 ^ {\ circ} - \ phi. \, \!}

Для вычислений расстояния часто необходимо знать радиус Земли , Который равен:

R {\ displaystyle R \, \!} R {\ displaystyle R \, \ = 6,371.009 километров = 3,958.761 уставных миль = 3,440.069 nautical miles .

D {\ displaystyle D _ {\} \!} D {\ displaystyle D _ {\} \ - расстояние между двумя точками.

Расчет для плоской поверхности [ ред. | ред. код ]

Аппроксимация поверхности земли в виде плоскости полезна на небольших расстояниях. Точность при таком подсчете расстояния заметно уменьшается когда:

  • Расстояние между точками растет;
  • Точка является ближе к географическому полюсу.

Кратчайшим расстоянием между двумя точками на плоскости прямая. Для подсчета расстояния используется теорема Пифагора .

Даже на малых расстояниях, точность подсчета географического расстояния зависит от метода с помощью которого координаты широты и долготы были спроектированы на плоскость.

Сферическая проекция Земли на плоскость [ ред. | ред. код ]

Эта формула учитывает изменение расстояния между меридианами при изменении широты:

D = R (Δ φ) 2 + (cos ⁡ (φ m) Δ λ) 2, {\ displaystyle D = R {\ sqrt {(\ Delta \ phi) ^ {2} + (\ cos (\ phi _ { m}) \ Delta \ lambda) ^ {2}}}} D = R (Δ φ) 2 + (cos ⁡ (φ m) Δ λ) 2, {\ displaystyle D = R {\ sqrt {(\ Delta \ phi) ^ {2} + (\ cos (\ phi _ { m}) \ Delta \ lambda) ^ {2}}}} где: Δ φ {\ displaystyle \ Delta \ phi \, \ где: Δ φ {\ displaystyle \ Delta \ phi \, \!} и Δ λ {\ displaystyle \ Delta \ lambda \, \!} заданные в радианах; φ m {\ displaystyle \ phi _ {m} \, \!} должны обладать величины совместимы с методом, используемым для подсчета cos ⁡ (φ m). {\ Displaystyle \ cos (\ phi _ {m}). \, \!} Для того, чтобы привести широту и долготу в радианы необходимо 1 ∘ = (π / 180) r a d i a n s. {\ Displaystyle 1 ^ {\ circ} = (\ pi / 180) \, \ mathrm {radians}.}

Эллипсоидная проекция Земли на плоскость [ ред. | ред. код ]

FCC приводит следующую формулу для подсчета расстояний, не превышающих 475 km / 295 miles: [2]

D = (K 1 Δ φ) 2 + (K 2 Δ λ) 2, {\ displaystyle D = {\ sqrt {(K_ {1} \ Delta \ phi) ^ {2} + (K_ {2} \ Delta \ lambda) ^ {2}}}} D = (K 1 Δ φ) 2 + (K 2 Δ λ) 2, {\ displaystyle D = {\ sqrt {(K_ {1} \ Delta \ phi) ^ {2} + (K_ {2} \ Delta \ lambda) ^ {2}}}} где D {\ displaystyle D \, \ где D {\ displaystyle D \, \!} = Расстояние в километрах; Δ φ {\ displaystyle \ Delta \ phi \, \!} и Δ λ {\ displaystyle \ Delta \ lambda \, \!} в градусах; φ m {\ displaystyle \ phi _ {m} \, \!} должен обладать величины совместимы с методом, используемым для подсчета cos ⁡ (φ m) {\ Displaystyle \ cos (\ phi _ {m}) \, \!} K 1 = 111.13209 - 0.56605 cos ⁡ (2 φ m) + 0.00120 cos ⁡ (4 φ m) K 2 = 111.41513 cos ⁡ (φ m) - 0.09455 cos ⁡ (3 φ m) + 0.00012 cos ⁡ (5 φ m). {\ Displaystyle {\ begin {aligned} K_ {1} & = 111.13209-0.56605 \ cos (2 \ phi _ {m}) + 0.00120 \ cos (4 \ phi _ {m}) \\ K_ {2} & = 111.41513 \ cos (\ phi _ {m}) - 0.09455 \ cos (3 \ phi _ {m}) + 0.00012 \ cos (5 \ phi _ {m}). \ end {aligned}} \, \!} Достаточно интересно отметить что: K 1 = M π 180 {\ displaystyle K_ {1} = M {\ frac {\ pi} {180}} \, \!} = Отношение километр на градус при изменении широты; K 2 = cos ⁡ (φ m) N π 180 {\ displaystyle K_ {2} = \ cos (\ phi _ {m}) N {\ frac {\ pi} {180}} \, \!} = Отношение километр на градус при изменении долготы; где M {\ displaystyle M \, \!} и N {\ displaystyle N \, \!} есть меридиагональний и перпендикулярно, или нормальный, радиусы кривизны (Выражение данной формулы полученный из расписания в биномиальный ряд множества M {\ displaystyle M \, \!} и N {\ displaystyle N \, \!} , Задаваемые на Референц-эллипсоиде ).

Полярные координаты на плоскости [ ред. | ред. код ]

D = R θ 1 2 + θ 2 2 - 2 θ 1 θ 2 cos ⁡ (Δ λ), {\ displaystyle D = R {\ sqrt {\ theta _ {1} ^ {2} \ {\ boldsymbol {+ }} \; \ theta _ {2} ^ {2} \; \ mathbf {-} \, 2 \ theta _ {1} \ theta _ {2} \ cos (\ Delta \ lambda)}}} D = R θ 1 2 + θ 2 2 - 2 θ 1 θ 2 cos ⁡ (Δ λ), {\ displaystyle D = R {\ sqrt {\ theta _ {1} ^ {2} \ {\ boldsymbol {+ }} \; \ theta _ {2} ^ {2} \; \ mathbf {-} \, 2 \ theta _ {1} \ theta _ {2} \ cos (\ Delta \ lambda)}}} где значение дополнения широты кажется в радианах где значение дополнения широты кажется в радианах. Для широты заданной в градусах, дополнения широты в радианах можно вычислить следующим образом: θ = π 180 (90 ∘ - φ). {\ Displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {180}} (90 ^ {\ circ} - \ phi). \, \!}

Расчет для сферической поверхности [ ред. | ред. код ]

Для расчета расстояния можно использовать формулы сферической тригонометрии .

Туннельная расстояние [ ред. | ред. код ]

Тоннель между точками на поверхности Земли является линией в трехмерном пространстве между этими точками. Длина хорды большого круга может быть рассчитана следующим образом для соответствующей единичной сферы:

Δ X = cos ⁡ (φ 2) cos ⁡ (λ 2) - cos ⁡ (φ 1) cos ⁡ (λ 1); Δ Y = cos ⁡ (φ 2) sin ⁡ (λ 2) - cos ⁡ (φ 1) sin ⁡ (λ 1); Δ Z = sin ⁡ (φ 2) - sin ⁡ (φ 1); C h = (Δ X) 2 + (Δ Y) 2 + (Δ Z) 2. {\ Displaystyle {\ begin {aligned} & \ Delta {X} = \ cos (\ phi _ {2}) \ cos (\ lambda _ {2}) - \ cos (\ phi _ {1}) \ cos ( \ lambda _ {1}) \\ & \ Delta {Y} = \ cos (\ phi _ {2}) \ sin (\ lambda _ {2}) - \ cos (\ phi _ {1}) \ sin (\ lambda _ {1}) \\ & \ Delta {Z} = \ sin (\ phi _ {2}) - \ sin (\ phi _ {1}) \\ & C_ {h} = {\ sqrt {(\ Delta {X}) ^ {2} + (\ Delta {Y}) ^ {2} + (\ Delta {Z}) ^ {2}}}. \ end {aligned}}} Δ X = cos ⁡ (φ 2) cos ⁡ (λ 2) - cos ⁡ (φ 1) cos ⁡ (λ 1); Δ Y = cos ⁡ (φ 2) sin ⁡ (λ 2) - cos ⁡ (φ 1) sin ⁡ (λ 1); Δ Z = sin ⁡ (φ 2) - sin ⁡ (φ 1); C h = (Δ X) 2 + (Δ Y) 2 + (Δ Z) 2

Туннельная расстояние между точками на поверхности сферической Земли равна D = R C h {\ displaystyle D = RC_ {h}} Туннельная расстояние между точками на поверхности сферической Земли равна D = R C h {\ displaystyle D = RC_ {h}} . Для малых расстояний (D «R {\ displaystyle D \ ll R} ), Отличающийся от расстояния по большому кругу на D (D / R) 2/24 {\ displaystyle D (D / R) ^ {2} / 24} .

Расчет для эллипсоидной поверхности [ ред. | ред. код ]

Эллипсоид аппроксимирует поверхность земли намного лучше чем сфера или плоскость. Кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности эллипсоида будет проходить вдоль геодезической линии . Геодезические линии имеют более сложную траекторию чем большие круги, и они обычно не возвращаются в свою начальную позицию после полного обхода Земли. Это показано на рисунке справа, где значение f равна 1/50 для подчеркивания эффекта. Поиск геодезической линии между двумя точками на поверхности Земли, представляет собой так называемую обратную задачу геодезии Была в центре внимания многих математиков и геодезистов в период между восемнадцатой и девятнадцатой веком. Значительный вклад в том сделали Клеро, [3] Лежандр, [4] Бессель, [5] и Хелмерт. [6]